---

Jeg har kigget lidt på funktionen y=x^x for x>0. Den ser ud til at have et
minimum omkring 0,36788 med funktionsværdien 0,692201.

Hvordan ville man bære sig ad med at finde et analytisk udtryk for dette
minimums x- og y-værdier?

/steen

---

"Steen" <virker@ikke.invalid> skrev i en meddelelse
news:451bba95$0$75032$14726298@news.sunsite.dk...
> Jeg har kigget lidt på funktionen y=x^x for x>0. Den ser ud til at have et
> minimum omkring 0,36788 med funktionsværdien 0,692201.
>
> Hvordan ville man bære sig ad med at finde et analytisk udtryk for dette
> minimums x- og y-værdier?

y' = x^x * (1 + ln(x))

y' = 0 for x = 1/e = 0.36787944...

y = (1/e)^(1/e) = 0.69220062...

Aage

---

"Aage Andersen" <aaa(REMOVE)@email.dk> wrote in message
news:451bc7b3$0$3493$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
>
> y' = x^x * (1 + ln(x))

Hvordan når man til dette efter de klassiske regler for differentation af
a^x henh. x^a ?

hilsen
Uffe

---

Uffe Kousgaard skrev:
> "Aage Andersen" <aaa(REMOVE)@email.dk> wrote in message
> news:451bc7b3$0$3493$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
>> y' = x^x * (1 + ln(x))
>
> Hvordan når man til dette efter de klassiske regler for differentation af
> a^x henh. x^a ?

x^x
= e^ln(x^x)
= e^(x ln(x))

(x^x)'
= (e^(x ln(x)))'
= e^(x ln(x)) * (x ln(x))'
= e^(ln(x^x)) * ( 1*ln(x) + x*1/x )
= x^x * (ln(x) + 1)

--
Jens Axel Søgaard

---

"Uffe Kousgaard" <oh@no.no> wrote in message
news:451bc998$0$2109$edfadb0f@dtext02.news.tele.dk...
> "Aage Andersen" <aaa(REMOVE)@email.dk> wrote in message
> news:451bc7b3$0$3493$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
>>
>> y' = x^x * (1 + ln(x))
>
> Hvordan når man til dette efter de klassiske regler for differentation af
> a^x henh. x^a ?

y = x^x <=> ln y = ln(x^x), x > 0
ln y = x ln x (udnytter logaritmeregnereglerne for ln(x^x))
Og så er det vist bare af differentiere på begge sider med hensyn til x og
gange igennem med y.

---

"Uffe Kousgaard"

>> y' = x^x * (1 + ln(x))
>
> Hvordan når man til dette efter de klassiske regler for differentation af
> a^x henh. x^a ?

y = x^x = e^(x * ln(x)) = e(z) hvor z = x * ln(x)

y' = e(z)' * z' = e(z) * (ln(x) + x / x) = x^x *(ln(x) + 1)

haaber dette er nok.

Aage

---

"Aage Andersen" <aaa(REMOVE)@email.dk> wrote in message
news:451bcd6d$0$3517$edfadb0f@dread11.news.tele.dk...
>
> y = x^x = e^(x * ln(x))

Tak, det var denne lille omskrivning der var tricket.