---

En funktion f er bestemt ved


f(x) = 1 / (1 + e^-x) , x tilhører R

Gør rede for at f er voksende


Sådan lyder opgaven. Ved ikke hvordan jeg løser den?

---

f er voksende hvis 1 + e^-x er større end 1, men da der ikke er nogen x værdi ved jeg ikke lige hvad de mener..

---

Differentier f og se på monotoniforløbet. Hvis df/dx >0 i hele R, så er f voksende.

Mvh. Kim Boje

---

Okay jeg har differentieret f på min texas TI-89 lommeregner og får:
0,25 / (cosh(0,5x))^2

"cosh" har jeg aldrig stødt på før. Hvad betyder det? Burde jeg få dette?

---

"cosh" er en hyperbolske cosinus defineret ved:

cosh(x) = ( exp(x) + exp(-x) ) / 2

---

Jeg kan ikke helt få udregningerne til at passe, men det korte af det lange er, at du so mfør nævnt at undersøge, hvorvidt df/dx > 0 for alle x. Hvis dette er tilfældet er f(x) voksende.
Da du har fundet 0,25 / (cosh(0,5x))^2 og ved at cosh(x) = ( exp(x) + exp(-x) ) / 2, dvs. at cosh(x) > 0 for alle x, da er df/dx > 0 for alle x, og dermed er f(x) voksende i intervallet x tilh. R

Her er mine udregninger, som jeg ikke helt har fået gjort færdige:

f(x) = 1/(1+exp(-x)), x tilhører R

Substitution: u(x) = exp(-x) => du/dx = - exp(-x)

f(u) = 1/(1+u) => df/du = -1/(1+u)^2

Kædereglen:
df/dx = df/du * du/dx = ( -1/(1+u)^2 )*( - exp(-x) )
u = exp(-x) indsættes: df/dx = exp(-x)/(1+exp(-x))^2

Reducering:
df/dx = exp(-x)/(1+exp(-x))^2
= exp(-x)/(1 + 2exp(-x) + exp(-2x))
= exp(-x)/( exp(-x) * (exp(x) + 2 + exp(-x) ))
= 1/(exp(x) + 2 + exp(-x) )
= 1/(exp(x) + exp(-x) + 2)
Det huskes, at cosh(x) = ( exp(x) + exp(-x) ) / 2 => cosh(x/2)^2 = ( exp(x) + exp(-x) + 1) / 4
Og så er det at nævneren: exp(x) + exp(-x) + 2 skal reduceres til 4 cosh(x/2), hvilket jeg ikke kan få til at passe, desværre.

---

På min grafregner (Casio Algebra Fx 2.0 plus) får jeg:
f'(x)= (e^-x)/((1+e^-x)^2)

Her ses at:
tælleren altid er positiv da eÅ-x er en eksponentiel funktion der altid er større end 0
nævneren er også altid positiv da et tal opløftet til anden potens altid er positivt.

Da både tæller og nævner altid er større end nul er f' > 0 og derved er funktionen altid voksende.
(f' kan aldrig være 0, da e^-0 = 1)

---

Sådan gøres det, Fijala!
Mvh. Kim Boje

---

Kommentaren fra Fijala er ikke helt korrekt.

Grunden til at tælleren er positiv er ikke fordi der er tale om en eksponentiel funktion, men fordi e er et positivt tal. e er en helt eksakt talværdi ligesom PI. Jeg mener værdien hedder 2,718281828, men du kan finde en knap på din lommeregner som hedder e^x som giver dig værdien.

Da nævneren også indeholder e vil den også være positiv, og derved vil f(x), som Fijala rigtig nok skriver, være en voksende funktion.

Hilsen Percy

P.S. Jeg ved ikke hvilken uddannelse du er i gang med, som normalt er det ikke godt nok at komme med en f´(x) som er regnet på lommeregneren, du skal vise at du kan lave f´(x) ved hjælp af din formelsamling og de regneregler du har lært.

---

-- Til Percy!

Ja, det er korrekt det du siger med e - og den er også omkring de 2,71.
Men du misforstod mig. Jeg skrev forkert. Jeg mente ikke en eksponentiel funktion, men et tal opløftet i anden potens.
Hvad enten man bruger argumentet med at (e^x)>0 eller x^2>0 er vel det samme.

Og lige til din "PS"-kommentar. Nu ved jeg ikke hvilken uddannelse simon_klunker er i gang med, men ifølge gymnasiets bekendtgørelser vil en KORREKT differentieret funktion give det samme antal point hvad enten den er lavet i hånden elle vha. lommeregneren. - Så det er ikke nødvendigt at vise at du kan gøre det i hånden...

---

Hej Fijala,

Jeg læser matematik B-niveau på GSK, og skal til eksamen her i maj måned. Vi skal kunne differentiere i hånden og må ikke have en lommeregner med som kan. Da jeg skulle starte, var jeg også ude at købe en TI-89, men måtte bytte den ud med en TI-84 da jeg ikke må have den anden med til eksamen.

Vi fik af vores lærer oplyst, at man på nogle skoler dispenserer så man må have en TI-89 med til eksamen, idet gymnasiereformen som træder i kraft om 2 år indeholder nye regler hvorefter det er obligatorisk at have en TI-89, men den skole jeg går på dispenserer ikke.

Det eneste jeg siger er bare, at simon_klunker skal være helt sikker på hvilken holdning der er på den uddannelse/skole som han går på.

MVH Percy

Dette spørgsmål er blevet annulleret, det er derfor ikke muligt for at tilføje flere kommentarer.