|
|
 | SuperEllipseStabilitet
Fra :  svendgiversen  | Vist : 2172 gange
250 point
Dato : 16-12-07 10:33 |
|
Piet Hein' s kendte Superellipsoide, som nogen måske har i guld,
beskrevet her: http://en.wikipedia.org/wiki/Super_ellipse
kan jo i modsætning til en almindelig ellipsoide stå på enden...
Formlerne for elipserne der roteres, er den normale ellipse: (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
og den generelle |x/a|^n +|y/b|^n = 1
hvor Piet Hein valgte halvakserne a=4 og b=3 samt eksponenten n=2.5
Hvor stor skal eksponenten med Piet Hein’s halvakser mindst være for at ”guldægget”,
når det stilles på enden, ikke vælter?
Hvad er det gennerelle udtryk for n ved marginal stabilitet med a og b som parametre??
| |
 | Kommentar
Fra : transor |
Dato : 16-12-07 11:10 |
|
Jeg mener at huske at stabil ligevægt kan opnæås bare n>2 uafhængig af halvakserne.
men måske husker jeg forkert, og beviset husker jeg slet ikke.
Kriteriet må være at ægget når det ruller på et vandret plan hele tiden skal have sit tyngdepunkt (midtpunktet naturkigvis) lodret over berøringspunktet.
| |
|
Jeg havde regnet med svar fra dig transor,
(jeg har været ikke transor, men censor i mange år på DTH nu DTU, og også AAU)
du er en af, meget få her i kandu, med matematisk baggrund og viden...
Men dit kriterie er vist ikke tilstrækkeligt?
Jeg tror at krumningsradius i toppunktet,
(berøringspunktet når ægget står på enden)
skal være større end afstanden til tyngdepunktet??
(noget med rho0>=a) Er du enig???
Svend, der ikke kan huske formler for krumningsradius og to gange differentation.
(jeg ved/husker den dobbelt aflede må indgå...).
| |
 | Kommentar
Fra : Nordsted1 |
Dato : 16-12-07 15:15 |
| | |
|
Imens forsøger jeg at afgrænse eksponenten n med tilnærmede numeriske metoder i MathLab:
Måske så du/I mit fejlplacerede program i smalltalk:
"
%super elipse supere.m
a=4;
b=3;
n= 2.5;
for i =1:91
o=4*(i-1)*pi/180;
x2(i)=a*sin(o);
y=b*cos(o);
x=a*(1-abs(y/b)^n)^(1/n);
xm(i)=x*sign(x2(i));
ym(i)=y;
end
plot(x2,ym,xm,ym,'linewidth',5)
"
Det tegner både normal ellipser/elipser (på dansk/engelsk) og super ellipser/elipser...
Kalder vi koordinaterne til punktet lige før det yderste til højre = (a,0) for (x,y)
er x en ubetydelighed mindre end a: den kalder jeg e = a - x.
Pytagoras på den retvinklede trekant r= krumnings radius rho, y og a-e giver r= (y^2+e^2)/(2*e);
håber jeg har regnet rigtigt?
Udbygger jeg programmet med denne tilføjelse og stadig focuserer på området yderst til højre:
"
%super elipse superho.m
clear all
a=4;
b=3;
n= 2.127;
for i =90:92
o=(i-1)*pi/180;
x2(i)=a*sin(o);
y=b*cos(o);
x=a*(1-abs(y/b)^n)^(1/n);
xm(i)=x*sign(x2(i));
ym(i)=y;
end
xe=x2(90:92);
ye=ym(90:92);
xs=xm(90:92);
plot(xe,ye,'o',xs,ye,'x', 3.95,-0.06,4.01, 0.06)
grid
%same y
y=ye(1);
%rho ellipse, close only
ee=a-xe(1)
re=(y*y+ee*ee)/(2*ee)
%rho super ellipse, close only
es=a-xs(1)
rs=(y*y+es*es)/(2*es)
"
får jeg rho ca lig 2.5 < a =4 for den normale elipse,
men over 21 for Piet Hein' s superelipse med eksponent 2.5.
Ittererer jeg manuelt nærmer jeg mig rho=a=4 for eksponenten n ca lig 2.127...
(jeg troede et øjeblik det var "e", grundtal for den naturlige logaritme,
men det var for godt til at være sandt).
Nu venter jeg spændt på at matematikere, der stadig kan huske at differentiere,
finder den eksakte værdi? Forhåbentlig tæt på min ittererede?? Svend
| |
|
skriver lige af fra matematikbogen jeg har omkring superellipsen  er ikke sikker på om der er et svar, men det er da et forsøg værd 
"Den danske diger og designer Piet Hein blev på et tidspunkt kendt, bl.a. fordi han forstod at udnytte den matematiske kurve med ligningen:
x^(5/2)/a^(5/2)+y^(5/2)/b^(5/2) = 1
Han kaldte kurven for en superellipse.
Piet Hein designede blandt andet et kendt bord med form som en superellipse, og han fik fremstillet "superæg" af metal. Det skulle efter sigende være beroligende at jonglere med et sådant æg i hånden."
der står også som billedetekst til et af de såkaldte "superæg":
"Piet Heins superæg. I modsætning til et almindeligt æg kan det stå på enden uden at vælte"
derudover kan jeg også angive formelen til hans superellipse bord:
x^2,5/1,8^2,5+y^2,5/1,2^2,5=1
| |
|
>I modsætning til et almindeligt æg kan det stå på enden uden at vælte"
Ja og nu er spørgsmålet, hvorfor?
Hvor meget skal eksponenten der er 2 for en normal elipse og 2.5 for superelipsen,
være større end 2 for at ægget ikke vælter?? Svend
| |
|
Klokken 4 i morges huskede jeg pludselig:
for elipsen i top punkterne: rho=b^2/a henholdvis a^2/b
Men hvad med superelipsen?
Fra en kollega:
Mojn Svend
krumningsradius for en parameterligning x(p), y(p)
som du nok kan regne ud står d og dd for henholdsvis den første og anden afledte med hensyn til p
rho=(dx.^2+dy.^2).^(3/2)./(dx.*ddy-dy.*ddx);
glædelig jul
HC
Håber det kan hjælpe kandu matematikerne...Svend
| |
|
Lidt mere hjælp:
en ellipse kan jo også skrives på parameter form
x=a*cos(O)
y=b*sin(O)
hvor jeg bruger O for vinklen theta...
Tilsvarende for super ellipse:
http://en.wikipedia.org/wiki/Superellipse
Med min nutation:
x=a*cos(O^(2/n))
y=b*sin(O^(2/n))
Disse udtryk er måske lidt lettere at differerentiere to gange,
for indsættelse i formlen for krumnings radius: rho=(dx.^2+dy.^2).^(3/2)./(dx.*ddy-dy.*ddx);
For jer der har regnet hele Juleferien... Svend
| |
|
Rettelse:
x=a*(cos(O))^(2/n)
y=b*(sin(O))^(2/n))
Der kan I se: Ikke lige mit bord...Svend
| |
|
Da ingen tilsyneladende kan klare denne svære opgave her i kandu...
Hvem kan så? Hvem kan jeg sende den videre til?
Sikkert ikke egnet som elev opgave,
og nok hellerikke for folkeskole lærere, som Klummes nevø' s matematiklærer?
Men der var for nyligt en lignende matematik opgave her i kandu,
hvor flere super matematikere blev nævnt; jeg huske ikke lige hvor??
Velegnet som intern opgave blandt matematikere, der underviser på universiteter og læreanstalter.
Men hvordan kommer jeg i kontakt med repræsentanter for disse, udadtil?
Hvor er Bohrs efterfølgere?? Svend
| |
 | Kommentar
Fra : gert_h  |
Dato : 20-02-08 14:28 |
|
Ok Svend. Jeg giver det et skud og starter her blot med x = a*(cos(O))^(2/n) .
Så
x(O) = a*(cos(O))^(2/n)
x ' (O) = (-2a*sin(O)*(cos(O)^(2/n - 1)) / n
x ''(O) = (-2a*cos(O)^(2/n)) / n + (2a*(2/n - 1)*sin^2(O)*cos(O)^(2/n-2) ) /n
Du kan regne med at paranteserne er sat rigtigt, så 2/n-2 betyder IKKE 2/(n-2)
Kan du bruge det til noget vil jeg overveje at differentiere y(O) for dig.
Mvh Gert
| |
|
Nu bliver jeg jo i tvivl Gert,
du får ikke helt det samme som en kollega, der vist har snydt og brugt Mable?
x ' (O) = (-2a*sin(O)*(cos(O)^(2/n - 1)) / n
Min kollega' s hvis jeg ellers kan rette??
x ' (O) = (-2a*sin(O)*(a*cos(O)^(2/n)) / (n * cos (O))
Og den næste anden afledede er så selvfølgelig også anderledes med 3 lange led...
Ellers er opgaven nu sendt videre til Erik Vestergaard, matematik lærer i Haderslev.
han vil se på den når eksamens travlheden er overstået, Svend
| |
| Kommentar
Fra : gert_h |
Dato : 20-02-08 19:33 |
|
Jamen jeg tror vi har (næsten) samme første-afledede, da:
cos(O)^(2/n-1) = cos(O)^(2/n)*cos(O)^(-1) = cos(O)^(2/n) / cos(O).
Din kollega's "problem", så vidt jeg kan se, er at han får en faktor a i anden. (a^2). Da jeg lærte at differentiere skulle man blot lade konstanter, der var ganget på en funktion, stå. Så hvordan konstanten a bliver til a^2 kan jeg ikke gennemskue.
Mvh Gert
| |
|
Min fejl
ikke noget 2 gange a kun
x ' (O) = (-2*sin(O)*(a*cos(O)^(2/n)) / (n * cos (O))
fordi det stod i en anden rækkefølge...
sorry Svend
| |
| Kommentar
Fra : gert_h |
Dato : 20-02-08 20:23 |
|
Helt OK
Så vil jeg mene at min og din kollega's 1.afledede er den samme. Gad vide om det samme ikke også gælder for x '' (O)?
Insisterer du på at se y(O) afledt - op til et par gange?
Mvh Gert
| |
|
Ja det vil jeg gerne...
Kan du Mathlab eller læse dette programerings sprog,
lettere for mig entydigt at angive min kollegas resultater på den måde...
Vil du helst differentiere selv først?
Ellers får du en program stump, Svend
| |
|
Dette er jo kun et taleksempel, det generelle udtryk efterspørges...
"
a=4
b=3
p=2.
n=2.5
theta=linspace(0+eps,pi/1e12,90*5+1);
theta=theta(2:end);
dx = -2*a*cos(theta).^(2*1/n).*sin(theta)./(n.*cos(theta));
dy = 2*b*sin(theta).^(2*1/n).*cos(theta)./(n.*sin(theta));
ddx = 4*a*cos(theta).^(2*1/n).*sin(theta).^2/(n.^2.*cos(theta).^2) ...
-2*a*cos(theta).^(2*1/n)/n ...
-2*a*cos(theta).^(2*1/n).*sin(theta).^2/(n.*cos(theta).^2);
ddy = 4*b*sin(theta).^(2*1/n).*cos(theta).^2./(n^2.*sin(theta).^2) ...
-2*b*sin(theta).^(2*1/n)/n ...
-2*b*sin(theta).^(2*1/n).*cos(theta).^2./(n.*sin(theta).^2);
rho=(dx.^2+dy.^2).^(3/2)./(dx.*ddy-dy.*ddx);
rho(1)
plot(theta,rho,'+')
plot(theta,rho)
"
For en elipse er krumningen i toppunktet jo rho min = b^2/a; her 3*3/4 = 2.25
langt mindre end halvaksen a=4 som tyngtepunktet jo ligger over anlægsfladen,
og vi ved jo den almindelige eliposoide vælter...
Hvorfor skulle krumningsradius pludselig være langt større end 4 i toppunktet,
hvis eksponenten øges fra 2 til 2.1 eller 2.01 eller 2.001...
Naturen er jo logisk, kontinuert, Svend
| |
| Kommentar
Fra : gert_h |
Dato : 20-02-08 21:30 |
|
Hej Svend
Jeg prøver lige at differentiere selv først, men det bliver først engang i morgen.
Jeg kender ikke Mathlab. Jeg vil dog gerne se din kollega's resultat (efter at jeg har givet mit bud) også selv om det er skrevet i Mathlab-sprog.
Mvh Gert
| |
|
Undskyld,
lad være med at kigge, før du har selv har en løsning, Svend
| |
| Kommentar
Fra : gert_h |
Dato : 21-02-08 13:00 |
|
hvad siger du til:
y(O) = a*sin(O)^(2/n)
y ' (O) = (2b*sin(O)^(2/n -1)*cos(O)) / n
y '' (O) = ( -2b*sin(O)^(2/n) ) /n + ( 2b*(2/n - 1)*sin(O)^(2/n-2)*(cos(O))^2 ) /n
I udtrykket for y ' ' (O) kan du selvfølgelig vælge at sætte på fælles brøkstreg, gange 2b ind i parantesen eller omvendt fælles brøkstreg og så 2b uden for en parantes etc. etc. . Der er sikkert mange narrestreger i den forbindelse.
Jeg ser lige på Mathlab udskriftet senere.
Mvh Gert
| |
|
Vist en tilsvarende omskrivning og / n*sin(O)
den anden afledede kan jeg ikke gennenskue...
Se HC' s MathLab program, Svend
| |
| Accepteret svar
Fra : gert_h | 
Modtaget 250 point
Dato : 21-02-08 16:35 |
|
Det er så vidt jeg kan se også det samme:
Mathlab:
ddy = 4*b*sin(theta).^(2*1/n).*cos(theta).^2./(n^2.*sin(theta).^2) ...
-2*b*sin(theta).^(2*1/n)/n ...
-2*b*sin(theta).^(2*1/n).*cos(theta).^2./(n.*sin(theta).^2);
Gert:
y '' (O) = ( -2b*sin(O)^(2/n) ) /n + ( 2b*(2/n - 1)*sin(O)^(2/n-2)*(cos(O))^2 ) /n
De to led i kursiv er ens.
Betragt de to sidste led i Mathlab:
4*b*sin(theta).^(2*1/n).*cos(theta).^2./(n^2.*sin(theta).^2) -2*b*sin(theta).^(2*1/n).*cos(theta).^2./(n.*sin(theta).^2)
sæt på fælles brøkstreg. Fællesnævner: n^2.*sin(theta).^2
= ( 4*b*sin(theta).^(2*1/n).*cos(theta).^2 - 2*b*n*sin(theta).^(2*1/n).*cos(theta).^2 ) / (n^2.*sin(theta).^2)
sæt 2*b*sin(theta).^(2*1/n).*cos(theta).^2 uden for parantes i tæller. mao faktoriser tæller:
= (2*b* sin(theta).^(2*1/n).*cos(theta).^2 * (2-n) ) / (n^2.* sin(theta).^2)
dividér sin(theta).^2 op i sin(theta).^(2*1/n) = sin(theta).^(2*1/n - 2) og
dividér n op i (2-n) = (2/n - 1)
så får du = ( 2*b*sin(theta).^(2*1/n - 2)*cos(theta).^2*(2/n - 1) ) /n
hvilket passer med mit andet led.
Mathlabs svar ser ud til at være det samme som mit svar. - Og her synes jeg naturligvis at mit udtryk er nemmere at overskue. 
Mvh Gert
| |
|
Ja Gert, godt klaret,
men selv med dine enklere udtryk, bliver det så ikke lidt kompliseret,
når nu både de afledede og de dobbelt afledede skal indsættet i formlen for krumnings radius?
Mon ikke det er nødvendigt at bruge et program?? Svend
| |
| Kommentar
Fra : gert_h |
Dato : 21-02-08 18:19 |
|
Det vil jeg stærkt anbefale at bruge et program hvis du har et.
Jeg giver dig fuldstændig ret. Når de afledede indsættes i formlen bliver det temmelig kompliseret.
Mvh Gert
| |
| Kommentar
Fra : gert_h |
Dato : 21-02-08 18:21 |
|
Hej Svend
Jeg ville egentlig have skrevet:
Det vil jeg stærkt anbefale: At bruge et program.
Jeg giver dig fuldstændig ret. Når de afledede indsættes i formlen bliver det temmelig kompliseret.
Mvh Gert
| |
|
Og Gert hvad bruger du af program?
Min kollega får 0/0 og uendelig stor krumningsradius i toppunktet bare e er lidt større end 2,
og det tror jeg ikke på. Værdien er 2.25 for e=2, mindre end a=4;
Der må da være en kontinuer udvikling...Svend
| |
| Kommentar
Fra : gert_h |
Dato : 21-02-08 19:08 |
|
Jeg bruger ikke noget, men kan da godt prøve at undersøge muligheden for at få fat i ét. Det har jeg faktisk tænkt på længe.
Jeg har tænkt på MathCad.
Kan din kollega ikke se sit program igennem for fejl. Jeg vil da ligesom dig tro at der er en kontinuert udvikling. Kan faktisk ikke forestille mig andet.
Mvh Gert
| |
|
Nu ved jeg jo ikke hvad du laver Gert,
men hvis det har noget med regulerings teknik at gøre, bør du vælge MathLab.
Og jeg tror ikke min kollega har lavet fejl.
Kun "snydt" og brugt Mable; kender du heller ikke dette værktøj?
Men måske havner han i et ekstremt 0/0 punkt, hvor programmet ikke er godt nok?
(her skal man vidst se på de næste afledede, men hvordan??).
Nu har også Erik Vestergaard jo lovet at se på opgaven...
Svend, der er pensionist om kun tre uger; med tid til problemløsninger og golf.
| |
| Kommentar
Fra : a2z |
Dato : 22-02-08 09:46 |
|
Hej Svend
Der er en god artikkel: http://www.matematiksider.dk/piethein.html , der beskriver superellipsen, samt berører stabilitetsproblemet.
Hvis det skal være mere matematisk kan du finde formlerne i "Differentialgeometri" og fx. anvende symbolsprog-programmet "Mathematica" til selve løsningen
Mvh. Allan
| |
| Kommentar
Fra : gert_h |
Dato : 22-02-08 09:50 |
|
Hej Svend
Nej jeg kender hverken MathLab eller Mable, men nu da jeg har fået tippet vil jeg prøve om jeg kan komme til at se lidt på det.
Jeg glæder mig til at høre hvad ham Erik Vestergaard får ud af det.
Mvh Gert
Og så må du nyde dit otium. Det lyder som om du har et par gode planer - både til hovedet og kroppen.
| |
| Kommentar
Fra : a2z |
Dato : 23-02-08 00:25 |
|
Hej Svend
I stedet for at tage de store formler frem, kan man nok nøjes med at anskue problemet med energi bevaring.
Lad os antage at tyngdepunktet er i (x,y)=(0,0) og afstanden til overfladen derfor er ellipsens potentielle energi.
Dvs. hvis man skubber lidt til den når den er i ligevægt og hvis energien da bliver større vil den søge tilbage, da den altid går mod mindst mulig energi.
Og energien er proportional med sqrt(x^2+y^2) og da vinklen er afgørende er det nemmere at bruge den parametriske fremstillind, der i 1. kvadrant er
x=a*Cos(t)^2/n og y=Sin(t)^2/n.
Da det kun er, hvor energien har min/max kan sqrt undværes og den afledede med hensyn til t sættes lig nul.
Formlen kan plottes parametrisk med n og t som variable og numerisk får jeg for en almindelig ellipse en grænse vinkel på 0 grader og for en superellipse ca. 13,4 grader.
Håber det er rigtigt, da jeg ikke kan afprøve det i praksis.
Mvh. Allan
| |
| Kommentar
Fra : gert_h |
Dato : 05-03-08 21:28 |
|
Hej Svend
Tak for dine point !
Det lader til at du støvsuger alle andre matematik-point op. Vi andre kan jo ikke være med.
Mvh Gert
| |
 | Du har følgende muligheder | |
|
Eftersom du ikke er logget ind i systemet, kan du ikke skrive et indlæg til dette spørgsmål.
Hvis du ikke allerede er registreret, kan du gratis blive medlem, ved at trykke på "Bliv medlem" ude i menuen.
| |
|
|